2022-11-01 T07 55 07 + 00 00

تطبق المدارس بعض المواد المختلفة على الطلاب خلال فترة الدراسة بحيث يكون لدى الطلاب مجموع جيد من المعرفة والعلوم ومختلفة، ويميل بعض الطلاب إلى مواد معينة يفضلونها على المواد الأخرى، بما في ذلك الرياضيات، ويختلف الطلاب في تفضيلاتهم، ومنهم من يهتم به ويتخصص فيه في المدرسة الثانوية، ونحن هنا أمام بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات وسنعرفه أكثر من خلاله.

أوجد الضرب الداخلي في الرياضيات

يعتبر الضرب الداخلي في الرياضيات من العمليات الحسابية التي تقع تحتها العديد من الفروع، لأنه بمعناه العام يتم تطبيقه بأكثر من طريقة.

  • يتم استخدام الناتج الداخلي لمتجهين لإيجاد طول المتجه والزاوية بين متجهين.
  • يطبق الضرب الداخلي على قوانين الحساب في الفضاء ثلاثي الأبعاد، ويطبق في حساب بعض القوانين الفيزيائية.
  • يمكن أيضًا تطبيق قانون الضرب الداخلي لمعرفة الشغل المنجز والطاقة المغناطيسية.
  • هناك فرق بين الضرب المعتاد في المراحل الابتدائية المبكرة والضرب الداخلي.
  • يكون الضرب العادي بين الأرقام، بينما يكون الضرب الداخلي بين المتجهات، ويتم الإشارة إلى المتجهات بالرمز (x، y).
  • عادة ما يتم تطبيق الضرب الداخلي في قسم الجبر في الرياضيات.

الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي

بادئ ذي بدء، عليك أن تعرف أننا هنا سنرمز إلى المتجهات بالمتجه (x) والمتجه (y)، وسنعرف كيفية تطبيق الضرب الداخلي بين المتجهات.

  • يتم تعريف المنتج الداخلي للمتجهين (x، y) على أنه حاصل ضرب x و y.
  • x = (x1 x 2)، y = (y1 p2).
  • س ص = س 1 ص 1 + س 2 ص 2.
  • حاصل ضربهم هو رقم وليس متجه.
  • يمكن أن يسمى الضرب الداخلي بين المتجهات الضرب القياسي أو الضرب العرضي أو إيجاد المتجه.
  • إذا كان الناتج الداخلي بين المتجهين صفرًا، فإن المتجهات تكون متعامدة، أي (xxy) = صفر.
  • والعلاقة بين المتجهين هي علاقة متعامدة، ومن خلال الضرب الداخلي، يمكننا معرفة وإثبات أن المتجهين متعامدين.
  • في هذا المثال، يمكننا تطبيق قاعدة الضرب الداخلي ومعرفة ما إذا كان المتجهان متعامدين أم لا المتجه (x) = (6،3) والمتجه (y) = (2، -4).
  • نطبق قانون الضرب الداخلي للحصول على الناتج النهائي من خلال xxy = x 1 y 1 xx 2 y 2.
  • xxy = (-4 x 3) + (2 x 6) = صفر، المتجهان هنا عموديان لأن حاصل ضرب الجزء الداخلي هو صفر.
  • عند رسم هذين المتجهين، يكون كلاهما عموديًا على الآخر وزاوية قائمة.
  • المتجهات قياسية لأنها مكتوبة على صورة الإحداثيات.

خصائص الضرب الداخلي

يتم تطبيق قاعدة الضرب الداخلي في إيجاد طول المتجهات، وسنتعرف معًا على خصائص الضرب الداخلي التي تُستخدم غالبًا لإيجاد طول المتجه.

خاصية التبديل

  • وهو حاصل ضرب x في y يساوي حاصل ضرب y في x، أي (xxy) = (yxx).
  • وهذا يعني أن الاستيفاء بين المتجهات هو عملية استبدال.
  • سنشرح هذه الخاصية من خلال توضيحها بالمثال التالي إذا كان المتجه x = (3،5) والمتجه y = (2،1).
  • إذن xxy = (5 x 1) + (3 x 2) = 11.
  • yxx = (1 × 5) + (2 × 3) = 11.
  • ومن ثم، نستنتج أن الضرب الداخلي بين المتجهات هو عملية استبدال.

خاصية التوزيع

  • تتميز الخاصية التوزيعية للضرب الداخلي بتوزيع ما هو خارج الأقواس على جانبي المتجهات داخل الأقواس.
  • يوضح هذا المثال لنا ما تم تلخيصه، لذلك نجد أن px (x + y) = pxx + yx y.
  • ومن ثم، نعلم أن خاصية التوزيع هي إحدى خصائص الضرب الداخلي للمتجهات.

خاصية الضرب لعدد حقيقي

  • تختلف هذه الخاصية عن خاصية التوزيع في أن التوزيع يكون بين المتجهات فقط، ويتم توزيع المتجه على كل شيء داخل الأقواس.
  • بالنسبة لخاصية الضرب لعدد حقيقي، يتم توزيع الرقم الحقيقي على متجه واحد فقط.
  • سنشرح ما سبق في المثال التالي 5 (x × y) يتم تطبيق توزيع الرقم 5 على متجه واحد فقط، وبالتالي تكون النتيجة 5x × y أو x × 5y.

الضرب في متجه الصفر

  • في هذه الخاصية، إذا تم ضرب المتجه بصفر في أي من المتجهين، فإن النتيجة في أي حال هي صفر.
  • من خلال المثال التالي، سنتعلم توضيح ما سبق إذا كان المتجه x = (0،0) والمتجه y = (4،7)
  • بتطبيق قانون الضرب الداخلي، تكون النتيجة x = 0 + 0 و y = 0 + 0.
  • إذا كانت نتيجة ضرب متجه الصفر بأي متجه آخر هي صفر.

العلاقة بين الضرب الداخلي وطول المتجه

  • ترتبط هذه الخاصية بالضرب الداخلي بطول المتجه.
  • عندما يتم ضرب المتجه (x) بنفسه، تكون النتيجة هي مربع طول المتجه.
  • يتم شرح ما سبق من خلال تطبيق هذا القانون xxx = | س | ².
  • دع x = 5، لذا 5 × 5 = | 5 | ² = 25.
  • إذن، طول المتجه 25√ = 5.

يمكنك المتابعة ومعرفة المزيد عن ذلك من خلال موقع الموسوعة العربية الشاملة